INFERENCIAS LÓGICAS

Para definir las inferencias lógicas tenemos que saber algunos conceptos como razonamiento y demostración.

Razonamiento: Es el proceso que se realiza para obtener la demostración.

Demostración: Es el encadenamiento de proposiciones que permiten obtener otra proposición, llamada conclusión,  a partir de ciertas proposiciones iniciales supuestas como verdaderas, que reciben el nombre de premisas. 

Las inferencias lógicas son las conclusiones que se pueden obtener después de realizar un razonamiento, este razonamiento solamente es verdadero si cumple las siguientes condiciones:

• Las premisas deben ser verdaderas
• durante el proceso de deducción las premisas deben relacionarse  sujetas a las leyes de la lógica

MODUS PONENDO PONESNS (MPP)

Para lograr entender esta ley miremos este ejemplo:

Daniel escucha la siguiente afirmación  "Si llueve hace frío"

En la siguiente "escena", observa llover, es decir "llueve" 

¿Que puede concluir Daniel? Que hará frió, es decir "hace frío"

Daniel ha utilizado la mas común de las inferencias lógicas MPP o Modus Ponendo Ponens 

En este ejemplo las proposiciones simples son:

p: llueve

q: hace frío 

MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)

Esta regla de inferencia dice que si una implicación de verdadera y su consecuente es falso, entonces su antecedente  sera necesariamente falso; simbólicamente se expresa así:

[ ( p → q ) Λ ¬ q ] → ¬ p

EJEMPLO

Modus Tollens 

Si llueve hace frio

no hace frio 

luego no llovio

SILOGISMO HIPOTÉTICO (S: H)

Es un argumento que se expresa simbólicamente así:

[ ( p → q ) Λ ( q → r ) ] → ( p → r )

EJEMPLO

SILOGÍSMO HIPOTÉTICO (S: H)

Si llueve hace frío

Si hace frío llevo abrigo

luego si llueve llevo un abrigo

SILOGISMO DISYUNTIVO (S. D ) O MUDUS TOLLENDO PONENS (MTP)

Esta ley se enuncia así:

Si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposición sera verdadera. 

Simbólicamente se escribe así:

[ ( p V q ) Λ ¬ p ] →  q       ó       [ ( p V q ) Λ ¬ q ] → p

EJEMPLO 

SILOGISMO DISYUNTIVO (S. D)

Cae cara o sello

No cayó sello

Luego cayó cara

DILEMA CONSTRUCTIVO (D. C)

( p → q ) Λ ( r → s )

p V r

q V s

EJEMPLO

DILEMA CONSTRUCTIVO (D. C)

Si estudio aprendo y si duermo descanso

Estudie o dormí

Luego aprendí o descanse

TAUTOLOGÍA Y CUANTIFICADORES

Una tautología es una función lógica que es verdadera para todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de sus premisas. 

Una proposición compuesta, que es falsa en todos los casos independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman se llama Contradicción.

PROPOSICIONES EQUIVALENTES 

Dos proposiciones compuestas se consideran equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad.

Simbólicamente, podemos determinar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes Si y solo si:

proposición 1 ↔ proposición 2 es una tautología. 

CUANTIFICADORES

CUANTIFICADOR UNIVERSAL Y EXISTENCIAL

Existen especialmente en matemáticas, expresiones que contienen variables tales como x, y, z etc, para las cuales su valor de verdad depende del valor que tome la variables. Se estudia la lógica de proposiciones abiertas, para ello, se asigna una expresión llamada cuantificador, que permite restringir los valores de las variables, de tal forma que la proposición toma un solo valor de verdad para dicha restricción. 

EJEMPLO

La proposición se puede enunciar de las siguientes maneras:

1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2 . Proposición verdadera

2. Para todo x 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposición falsa.

Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el dominio de la variable es igual al conjunto universal. 

Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y solo si el dominio de la variables no es vacío. 

TABLAS DE VERDAD

Las tablas de verdad son fundamentales para saber el valor de verdad de proposiciones compuestas, las cuales van enlazadas por conectivos lógicos utilizados en proposiciones simples.

En su elaboración de una tabla de verdad van conectivos tales como : negación ¬, disyunción V y la conjunción  Λ , se consideran fundamentales para su creación y decir si una proposición llega hacer falsa o verdadera. 

A  continuación encontramos una tabla de verdad según cada conectivo lógico:

CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD

Las tablas de verdad determinan el valor  de una proposición compuesta

Aquí tenemos algunos ejemplos de tabla de verdad con algunos conectores lógicos:

PROPOSICIONES

Una proposición cumple un importante y fundamental papel de la lógica. la proposición es un enunciado que debe cumplir con la condición de ser susceptible de poder ser verdadero o falso.

EJEMPLO:

En la ciudad Bogotá hace bastante frío 

REPRESENTACIÓN DE LAS PROPOSICIONES 

Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como: p, q, r, s, x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta manera, el lenguaje proposicional se hace mas simple y exacto que el lenguaje natural.

EJEMPLO:

p: Tengo ganas de comer un pastel

q:  Las patrullas no tienen sirenas 

EJEMPLOS:

Expresión: En el colegio hay alumnos y en el colegio hay profesores

Proposiciones: p: En el colegio hay alumnos 

                         q: en el colegio hay profesores

Notación simbólica:   p   Λ   q

Expresión: La comida se come con cubiertos o con las manos?

Proposiciones: r: La comida se come con cubiertos                      

                           s: con las manos

Notación simbólica:   r   V   s

Expresión: Hoy no llueve

Proposiciones: t: Hoy llueve

Notación simbólica:   ¬ t

Expresión:  Si me pongo guantes y bufanda entonces dejare de tener tanto frío

Proposiciones: x: Me pongo guantes y bufanda

                           y: dejare de tener tanto frío

Notación simbólica:  x    →     y

Expresión: La ventana esta cerrada si y solo si tiene puesto el pasador

Proposiciones:  v: La ventana esta cerrada

                            z: tiene puesto el pasador

Notación simbólica:  v    ↔    z

CLASIFICACIÓN

PROPOSICIONES SIMPLES: 

Se denominan oraciones simples a aquellas que no utilizan conectivos lógicos  Su valor de verdad puede ser verdadero V o falso F, pero no puede tomar los dos valor al mismo tiempo.

EJEMPLO

p: 2 es un numero par

PROPOSICIONES COMPUESTAS:   

Se denominan oraciones compuestas a las que utilizan conectivos lógicos. El valor de verdad de estas proposiciones es verdadero V o es falso F dependiendo del valor de verdad de las proposiciones simple que las conforman y del conectivo lógico.  

EJEMPLO

Me coloco una chaqueta o me pongo un saco

CONECTIVOS LÓGICOS

CONJUNCIÓN  Λ   

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por "p Λ q" se denomina la conjunción de p y q.

EJEMPLO

p Λ  q: Esta haciendo mucho frío y esta nublado, en donde:

p: Esta haciendo mucho frío

Λ: y

q: esta nublado

De tal manera podemos finalizar que ne la conjunción es verdadera, solo si las dos proposiciones simples que utilizamos sean verdadera, en cualquier otro caso la conjunción es falsa.

DISYUNCIÓN  V

Sean p y q dos porposiciones simples. La proposicion p o q, simbolizada "p V q" se llama disyuncion de p y q.

EJEMPLO

p V q: Sera que llovera o hara sol? en donde:

p: Sera que lloverá

V: o

q: hará sol?

La disyunción es falsa solamente cuando las dos proposiciones simples que utiliza sean falsas. En los otros casos es verdadera.

NEGACIÓN   ¬

Sea p una proposición simple. Se define la negación de p mediante la proposición compuesta no p simbolizada por: "¬p"

EJEMPLO 

p: 80 no es un numero par ni natural

Podemos establecer que si la proposición es verdadera su negación es falsa e inversamente, si una proposición es falsa su negación es verdadera. 

EL CONDICIONAL    →

Una proposición compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresión "si ..... entonces"

Si p y q representan dos proposiciones, la expresión "Si p entonces q" se simboliza asi: p → q y se lee p implica q

EL BICONDICIONAL  ↔

Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresión: "si y solo si"

Si p y q son proposiciones simples, la dobles implicación p ↔ q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre el bicondicional esta formado por p y q y q y p, las cuales deben de tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q.

Se lee p ↔ q

                                            

"INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA"

HISTORIA DE LA LÓGICA  

La lógica comenzó desde los tiempos de Aristoteles. Originalmente "logos" significa palabra o discurso, desde un principio se definió la lógica como la rama de la gramática que ocupaba diferentes espacios en el lenguaje. 

Aristoteles llamado "el padre de la lógica", creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual se desarrollo la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar si era verdadera o falsa proposiciones compuestas. 

La lógica esta muy relacionada con la filosofía. En el periodo presocratico, los filósofos pasaron de preocuparse por la naturaleza a preocuparse por el hombre y su pensamiento. La lógica es la ciencia del pensamiento racional, la lógica no se centra del contenido de los pensamientos sino de la forma de los pensamientos.

CLASIFICACIÓN

La lógica se puede clasificar como lógica tradicional o no formal y lógica simbólica o formal:

LÓGICA TRADICIONAL O NO FORMAL: se considera la destreza para interpretar y distinguir un razonamiento incorrecto como producto de una experiencia humana. 

LÓGICA SIMBÓLICA O FORMAL: Se encarga de investigar desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia. Se considera un de los sistemas el cual se llega a formas puras y rigurosas.  

PROPÓSITO

La lógica nos ofrece diferentes maneras de enseñar, como formar proposiciones, evaluar valores de verdad que se puedan deducir correctamente a partir de proposiciones compuestas.  La lógica trata mas las proposiciones para darnos a obtener precisión, claridad y generalidad en los razonamientos. 

LENGUAJE NATURAL Y LENGUAJE ARTIFICIAL

El lenguaje natural nace de una organización espontánea de las capacidades lingüísticas de una comunidad, y se encuentra con una gran cantidad de signos, sobresaliendo las vocales .

El lenguaje artificial, se genera cuando una o mas personas se deciden usar signos especiales para obtener mejor comunicación  estableciendo reglas que faciliten la operatividad entre los signos.